Triangulo Misterioso y Suc de Fibonacci

(Planteamiento y figuras iniciales en http://www.acertijos.net/aberran3.htm )

Mira el triángulo de arriba que se divide en varias figuras.

Si reordenamos estas figuras parece que nos hemos comido un trozo:


¿Qué ha pasado?
En CPI. curioso pero inutil hay una respuesta (cito a continuacion.. original aca...)

----- Inicio cita textual ----
Mirando las piezas una a una parece que son exactamente iguales. Y, efectivamente, lo son. ¿Dónde está el fallo entonces?
Pues está, sutilmente agazapado, en la hipotenusa del triángulo. Antes de desvelar el secreto, repasemos un sencillo concepto matemático que todos recordamos: la pendiente de una recta (su inclinación, vaya). La pendiente se puede definir como “lo que sube la recta en un intervalo, dividido por lo que avanza la recta en ese intervalo”. Cuanto más alta sea la pendiente, más inclinada hacia arriba estará la recta. Pues ahora estudiemos las pendientes de ambos subtriángulos, el azul y el rojo.
Fijémonos en el triangulillo rojo. Tiene tres cuadrados de alto y ocho de ancho,. Por tanto, la pendiente de su hipotenusa es de 3/8 (0,375). El triangulillo azul, por el contrario, tiene dos cuadrados de alto y cinco de ancho. La pendiente de su hipotenusa es de 2/5 (0,4). Esta pequeña diferencia de pendientes es la clave. El triángulo azul es más inclinado que el rojo, aunque no lo parezca. Cuando vemos el dibujo parece que la hipotenusa del triángulo completo es recta, pero en realidad no lo es. Hagamos un dibujillo servilletero de bar™ exagerando las diferencias:



¡Y ése es el misterio! Una hábil reordenación de las piezas hace que el área que parece faltar en un sitio esté en realidad en otro, pero el área total del triángulo se conserva. Lo que ocurre es que no somos capaces de verlo a ojo, porque las diferencias son sutiles.
----- fin cita textual ------

Si observamos un poco el triangulo veremos que las medidas de los triangulos son 2,5 y 3,8, los cuales si ordenamos nos da 2,3,5,8... cuatro números consecutivos de la serie de Fibonacci... será casualidad??

Sucesión de Fibonacci

Recordemos la Sucesión de Fibonacci, definida en recurrencia a partir de sus dos primeros términos:

a₁= 1, a₂ = 1, a_n = a_n-2 + a_n-1, es decir, cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. Así a₃ = a₁ + a₂ = 1 + 1 = 2, a₄ = a₂ +a₃ = 1 + 2= 3, etc.


Obtenemos entonces, la sucesión F={1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...}



Si tomamos cuatro términos consecutivos de esta serie obtenemos una curiosa relación:

El producto del primero y el cuarto se diferencia absolutamente en una unidad con el producto de los dos términos centrales. Además la diferencia es positiva si el primer término ocupa una posición impar en la sucesión y es negativa si el primer término ocupa una posición par en la sucesión.
Esto se puede apreciar en la siguiente tabla:

Se demostrará a siguiente propiedad:

a_n · a_n+3 = a_n+1 · a_n+2 – (-1)ⁿ " n ÎN, a_i ÎF

Se hará por inducción sobre n.

n=1

Es fácil verificar la igualdad para n=1

a₁ · a₄ = a₂ · a₃ –(-1)¹ ó
1 · 3 = 1 · 2 - (-1) ó
3 = 2 - (-1) ó
3 = 2 + 1ó
3 = 3

Supongamos que la igualdad se cumple para n = k, y demostremos que es cierta para n = k+1

Hipótesis:

a_k · a_k+3 = a_k+1 · a_k+2 – (-1)^k

Por demostrar

a_k+1 · a_(k+1)+3 = a_(k+1)+1 · a_(k+1)+2 – (-1)^k+1

Demostración

a_k · a_k+3 = a_k+1 · a_k+2 – (-1)^k /+ a_k+1 · a_k+3

a_k · a_k+3 + a_k+1 · a_k+3 = a_k+1 · a_k+2 + a_k+1 · a_k+3 – (-1)^k

(a_k + a_k+1 )· a_k+3 = a_k+1 · (a_k+2 + a_k+3) – (-1)^k

a_k+2 · a_k+3 = a_k+1 · a_k+4 – (-1)^k / + (-1)^k

a_k+2 · a_k+3 + (-1)^k = a_k+1 · a_k+4

a_k+2 · a_k+3 -(-1)(-1)^k = a_k+1 · a_k+4

a_k+2 · a_k+3 - (-1)^k+1 = a_k+1 · a_k+4

a_k+1 · a_k+4 = a_k+2 · a_k+3 - (-1)^k+1

a_k+1 · a_(k+1)+3 = a_(k+1)+1 · a_(k+1)+2 – (-1)^k+1

Q.E.D

Ahora, ¿que tiene que ver esto con el triángulo misterioso?

Veamos las siguientes figuras

En cada caso sobra o falta un cuadrado luego de reordenar las piezas de triángulo. Esto se debe a que los lados de los triángulos son números consecutivos de Fibonacci y en cada figura se forma un rectángulo cuyas medidas corresponden a ‘a_n y a_n+3’ para el primer triángulo y a ‘a_n+1 y a_n+2’ para el segundo triángulo. Aplicando la propiedad antes demostrada, queda resuelto el misterio del triángulo misterioso.

Además a medida que n aumenta, la diferencia de pendiente entre los triángulos es más sutil, pues la razón entre los lados de los triángulos tiende a 1-f , es decir 1 – 0,618033 = 0,38196. Veamos:




Para demostrar esto usaremos un resultado conocido de la sucesión de Fibonacci, el cuociente entre dos términos consecutivos de la sucesión de fibonacci tiende a f

Sea f(n) = a_n/a_n+1 = (a_n+2 – a_n+1)/a_n+1 = a_n+2/a_n+1 – 1 = 1/f(n+1) – 1.

Sea L = lim f(n) cuando n ॠ=>
L = 1/L – 1 =>; L² = 1 – L => L² + L – 1 = 0 => L = (Ö5 – 1)/2 = 0,618033 = f

Un punto interesante es que ninguna de las propiedades demostradas depende de los valores iniciales de a₁ y a₂ tomados para definir la sucesión. En el caso de la diferencia entre los productos, cambia el valor de la constante, pero se mantiene la alternancia. Por ejemplo si a₁ =3 y a₂ = 4 se tiene

El valor de la última constante se obtiene de los primeros cuatro números de la serie.

Dados a₁ y a₂,

a₃ = a₁ + a₂

a₄ = a₂ + a₃ = a₂ + a₁ + a₂

d = a₁·a₄ – a₂ · a₃ = a₁(a₁ + 2a₂) – a₂(a₁ + a₂)
= a₁² + 2a₁a₂ – a₁a₂ – a₂²
= a₁² + a₁a₂ – a₂²

Para el caso a₁ = a₂ = 1 se tiene d = 1 + 1 – 1 = 1

Para el caso a₁ = 3 a₂ = 4 se tiene : d= 3² + 3·4 - 4² = 9 + 12 – 16 = 5.

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