Programas para Graficar

Algunos programas para graficar

Graphmatica
GrafEq32

Guia de Raíces 3ro Medio

Guía de Ejercicios Raíces Tercero Medio
Colegio Marquel
Descargar Aquí

Apunte sobre Modelos Matemáticos

A solicitud de alumnos del electivo 3ro Medio se pone a disposición un apunte de Modelos Algebraicos, orientado a la descripción de la metodología para crear Modelos a partir de problemas planteados en form verbal.

El Apunte es parte de una serie del Portal Educativo Conevyt

Para efectos de los contenidos del curso, especial atención al capítulo 2 (Pag 71 en adelante).

Descargar Aqui

(Si desean los otros fasciculos los pueden descargar directamente desde Conevyt en el apartado Bachilleres o bien me envian un correo y se los mando yo)
Otra opción más simple es que me los pidan en clases :-)

Un triunfo para las Matemáticas. Descubrimiento de Neptuno.

En 1781 William Herschel se convirtió en el primer hombre en descubrir un planeta en tiempos históricos. Este descubrimiento fue un tanto sorpresivo, ya que no se esperaba que hubiera un planeta mas allá de Saturno. De hecho Urano iba contra el esquema de los sólidos platónicos propuesto por Kepler, que nada mas tenía cabida para seis planetas alrededor del Sol. Sin embargo, ya en 1779 Herschel había estudiado todas las estrellas hasta la cuarta magnitud accesibles desde Inglaterra con los telescopios mas potentes de su época. Herschel se había dado a la tarea de observar los cielos, con tal dedicación que era sólo cuestión de tiempo se topara con Urano.

En contraste, el descubrimiento de Neptuno no fue fortuito, ya que se produjo como desenlace de una secuencia, en cierta manera lógica, de eventos. Desde el momento de su descubrimiento, los astrónomos empezaron a estudiar el movimiento de Urano, en buena parte debido a que al encontrar cuanto tiempo tarda en dar una vuelta alrededor del Sol, las leyes de Kepler les dirían cuál es su distancia al astro rey. En tan solo siete años los científicos, basándose incluso en observaciones de Urano realizadas antes de su descubrimiento, produjeron tablas que indicaban donde debería encontrarse Urano en una fecha dada. Sin embargo, al paso de los años se encontró que Urano no seguía exactamente la órbita calculada y que alguna causa alteraba su movimiento. Varias explicaciones surgieron: habría sido golpeado por un cometa desde su descubrimiento? acaso tendría Urano algún satélite muy masivo, pero invisible? no sería que las leyes de Newton fallaban a grandes distancias? O, porqué no: existía algún planeta invisible que perturbaba el movimiento de Urano?

En 1842 la Academia de Ciencias de Göttingen ofreció un premio a quien encontrara la solución del problema del movimiento de Urano. Tomando en cuenta esta circunstancia, no es tan casual como a veces se pretende que dos científicos hallaran la respuesta en forma independiente casi al mismo tiempo. Urban Leverrier había estudiado matemáticamente el problema del movimiento de los cometas, y sabía bien como tratar el problema de la órbita de Urano. El 18 de septiembre de 1846 completó sus cálculos y escribió a J.G. Galle, del observatorio de Berlín, pidiéndole realizar observaciones en un lugar del cielo donde predecía que el nuevo planeta debería estar. Cinco días después el planeta fue encontrado muy cerca de la posición predicha. El descubrimiento del nuevo planeta, que pronto llevaría el nombre de Neptuno, fue motivo de orgullo nacional en Francia, patria de Leverrier, orgullo que sufrió un pequeño golpe cuando se supo que los cálculos de Leverrier habían sido realizados un año antes por un matemático inglés.

Después de graduarse de la universidad de Cambridge con los honores mas altos de su generación, John Couch Adams aprovechó unas largas vacaciones para atacar el problema de Urano. En octubre de 1843 Adams encontró una solución, y en febrero de 1844 solicitó al Astrónomo Real datos mas precisos sobre el movimiento de Urano. En septiembre de 1845 Adams hizo llegar a Airy, el entonces Astrónomo Real, los resultados de sus cálculos, muy similares al los que encontraría Leverrier un año después. Tanto Airy como Challis, astrónomo que sostentaba la prestigiosa Cátedra Plumiana en la Universidad de Cambridge, no prestaron la debida atención a Adams y el asunto pronto se convirtió en poco menos que una riña. Para frustración de Adams, poco tardó Galle en descubrir Neptuno usando los cálculos de Leverrier. Para colmo, en 1847 la Royal Astronomical Society de Inglaterra condecoró a Leverrier por los cálculos que llevaron al descubrimiento de Neptuno. Finalmente, en un año la suerte empezó a hacer justicia a Adams, quien recibió el mismo premio que Leverrier el año anterior. Mas tarde, en 1861, Adams se convertiría en director del Observatorio de Cambridge.

Mientras que Urano fue encontrado de manera puramente observacional, Neptuno fue descubierto mediante el poder de las matemáticas, empleando lápiz y papel antes que telescopios. Los científicos adquirieron una enorme confianza y pronto quisieron repetir la hazaña. Sin embargo, el caso de Neptuno no volvió a ocurrir y el siguiente, y último, descubrimiento de un planeta alrededor del Sol, el de Plutón, se produjo como resultado de innumerables observaciones sistemáticas del cielo. El descubrimiento de Neptuno ha quedado como un triunfo único para la mecánica celeste. Por lo menos desde el punto de vista de la herramienta, ya que en esta era de las computadoras, ningún astrónomo llevaría a cabo los cálculos de Adams y Leverrier armado tan solo de lápiz y papel.

(Version original en Un rincón cerca del cielo)

El Teorema de Pitágoras

El famoso teorema de Pitágoras, relaciona las longitudes de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, de la siguiente forma:
"En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa"

a²+ b² = c²

Esto se puede interpretar geométricamente diciendo que

"LA SUMA DE ÁREAS DE LOS CUADRADOS CONSTRUIDOS SOBRE LOS CATETOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ES IGUAL AL ÁREA DEL CUADRADO CONSTRUIDO SOBRE LA HIPOTENUSA".

Esta es la versión más conocida del teorema de Pitágoras, pero se puede extender a otros polígonos regulares, como por ejemplo un triángulo equilátero:
"LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS CONSTRUIDOS SOBRE LOS CATETOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ES IGUAL AL ÁREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONSTRUIDO SOBRE LA HIPOTENUSA".

Esto de puede deducir desde
a²+ b² = c²

simplemente multiplicando a ambos lados de la igualdad por para obtener

En realidad, puede extenderse la versión geometrica del teorema de pitágoras a cualquier polígono regular de n lados, pues el área de un poligono regular n lados de medida x esta dada por la expresión
Area =
donde sólo depende del número de lados del polígono.

"EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO, SI SE DIBUJAN POLÍGONOS REGULARES SEMEJANTES SOBRE LA HIPOTENUSA Y SOBRE LOS CATETOS, SE CUMPLE QUE LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS POLÍGONOS CONSTRUIDOS SOBRE LOS CATETOS ES IGUAL AL ÁREA DEL POLÍGONO CONSTRUIDO SOBRE LA HIPOTENUSA"

Por otro lado, si se dibujan semicircunferencias tomando como diámetros los lados de un triángulo rectángulo, se cumple que la suma de las áreas de las semicircunferencias dibujadas sobre los catetos es igual al área de la semicircunferencia dibujada sobre la hipotenusa

Sucesión de Fibonacci

Una sucesión es un conjunto ordenado de numeros asociados a un conjunto de índices (1,2,3,4,5,6.......)
Por ejemplo la sucesión de los números pares : a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 =10, a6 =1 2,......., an = 2·n (el primer par es el dos, el segundo el 4, el tercero el 6, ... el n-simo numero par es 2·n)
Este artículo trata sobre una sucesión particular, llamada Sucesión de Fibonacci.
Su definición es muy simple, pero tiene una serie de implicancias en la naturaleza, las artes y en múltiples ámbitos.
Se define de la siguiente forma
a1 = 1 ; a2 = 1 ; a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2 ; a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3 ; ..... an = an-2 + an-1
(Una vez definidos los dos primeros términos, cada término siguiente es igual a la suma de los dos anteriores)

Así la sucesión de Fibonacci será 1, 1, 2, 3 ,5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,......

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el primer mes, dobla el número y, en este mes, se tienen dos parejas. De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el segundo mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes han nacido dos parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen hijos y, en el cuarto, el número de parejas llega a 8. Cinco de estas parejas producen otras cinco parejas, las cuales, junto con las 8 parejas ya existentes, hacen 13 parejas en el quinto mes. Cinco de estas parejas no tienen hijos en este mes en este mes, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen 21 parejas. Simando a éstas las 13 parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de 34 parejas. Sumando a éstas las las 21 parejas que nacen en el octavo mes, el total es de 55 parejas. Sumando a éstas las 34 parejas que nacen en el noveno mes, se obtienen 89 parejas. Agregando a éstas las 55 parejas que nacen en el décimo mes, se tiene un total de 144 parejas. Agregando a éstas las 89 parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de 233 parejas.
Finalmente, sumando a éstas 144 parejas que nacen en el último mes, se obtienen un total de 377 parejas. Este es el número de parejas producidas por la primera pareja en el lugar dado, al término de un año. Al examinar la tabla anterior, el lector puede ver cómo se llega a este resultado; a saber: se suma el primer número al segundo, o sea, 1 a 2; el segundo al tercero; el tercero al cuarto, el cuarto al quinto; y así sucesivamente, hasta que se suman el décimo y el undécimo números 144 y 233; así se obtiene el número total de parejas de los conejos en cuestión, es decir, 377."
Parejas:
Inicio del Año 1
primer mes 2
segundo mes 3
tercer mes 5
cuarto mes 8
quinto mes 13
sexto mes 21
séptimo mes 34
octavo mes 55
noveno mes 89
décimo mes 144
undécimo mes 233
duodécimo mes 377

Otra Aplicación:
Si cuentas las escamas de una piña, observarás sorprendido que aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci
Lo mismo ocurre con las piñas de girasol; forman una red de espirales, unas van en sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario, pero siempre las cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
La espiral tambien surge de los números de Fibonacci

Si el primer cuadrado tiene lado 1, junto a él se ha dibujado un nuevo cuadrado de lado 1, trazando un arco de 90º. Luego se ha dibujado un nuevo cuadrado tomando como lado el total del lado de la figura anterior, s decir la medida es 2, se vuelve a trazar el arco de 90º. Luego se vuelve a dibujar un cuadrado apoyado en el lado de la figura, teniendo éste lado igual a 3. Al continuar el proceso, las medidas de los lados serán 1,1,3,5,8,13 ... es decir, los numeros de la Sucesión de Fibonacci.

Un ejercicio interesante es escribir los números de la sucesión en Base 2...